Tracciamento dei profili del pelo libero in condizioni di moto permanente

Fiume Secchia (Reggio Emilia)
La progettazione di ogni opera che interagisce con l'alveo fluviale richiede di operare verifiche tecniche dell'impatto che l'opera stessa genera sulla corrente idrica. Questa verifica spesso richiede il tracciamento del cosiddetto "profilo del pelo libero", ovvero il profilo longitudinale dell'altezza della superficie libera della corrente idrica. Detta altezza, per le ipotesi che saranno successivamente introdotte, assume valore costante nella sezione trasversale. Un esempio significativo di effetto di opere trasversali sulla corrente è fornito qui e qui.

Il tracciamento dei profili del pelo libero, per correnti gradualmente variate in condizioni di moto permanente e vario, può essere risolto utilizzando un software appropriato. Il più noto è probabilmente HEC-RAS, un pacchetto libero (ovvero disponibile gratuitamente sul web) sviluppato dall'US Army Corps of Engineers, che però non è open source (ovvero, non è disponibile il codice sorgente) e quindi non può essere verificato e modificato dall'utente. HEC-RAS è disponibile solo in lingua inglese, ma esistono versioni commerciali tradotte in altre lingue. Altri produttori mettono a disposizione pacchetti commerciali di diversa complessità.

La disponibilità di algoritmi automatici di calcolo rende meno utile che in passato la conoscenza dei metodi di calcolo dei profili del pelo libero. Tuttavia, occorre considerare che si tratta di un problema tecnico di notevole complessità che viene risolto, anche dai software, con l'introduzione di ipotesi semplificative il cui effetto è da valutare attentamente, perchè possono rendere il calcolo poco attendibile rispetto alle condizioni che si verificano nella realtà. E' quindi necessario valutare con molta attenzione la risposta fornita dal software, operazione che si riesce a condurre solamente se si è in grado di elaborare a priori, sulla base di esperienza ed intuizione, un andamento atteso del profilo di corrente. Questa operazione è possibile solo se si ha padronanza della teoria. Per questo motivo, ritengo che la conoscenza approfondita dei profili del pelo libero sia più necessaria ora che in passato.

Il tracciamento dei profili del pelo libero, come innanzi indicato, può essere eseguito in condizioni generali, nelle quali il moto può essere permanente o vario, in presenza di alveo prismatico con sezione trasversale rettangolare oppure con qualsivoglia geometria. Il tracciamento manuale dei profili del pelo libero richiede però necessariamente l'introduzione di ipotesi semplificative.

1. Ipotesi

In quanto segue si assumerà che la corrente idrica si muova in condizioni di moto permanente ed in alveo prismatico (o alveo cilindrico), caratterizzato cioè da sezione trasversale la cui geometria rimane invariante al variare dell'ascissa fluviale. Si assumerà inoltre che la corrente a pelo libero sia gradualmente variata, che la pendenza dell'alveo non sia elevata sicchè le sezioni trasversali si possano considerare verticali, che il fluido sia incomprimibile e che non si verifichino afflussi e deflussi laterali.

Si farà inoltre riferimento al caso di sezione trasversale compatta, ovvero quella nella quale la velocità è distribuita in modo pressochè uniforme sulla sezione. Questa condizione è implicita nell'assunzione di corrente gradualmente variata, ma nella realtà non è mai verificata e si rivela essere una buona approssimazione solo nei casi nei quali, appunto, la sezione è compatta, ovvero non eccessivamente estesa nella direzione trasversale e non caratterizzata da "zone morte", quali possono essere ad esempio le golene.

Sotto le ipotesi innanzi introdotte, il moto della corrente è regolato dalle equazioni di De Saint-Venant, dal nome del matematico francese che le formulò per primo nel 1872, ovvero

. (1)

La derivazione delle equazioni di De Saint Venant è descritta qui.

2. Equazione del moto permanente delle correnti a pelo libero

In condizioni di moto permanente si annullano le derivate temporali nelle equazioni di De Saint Venant, le quali si riconducono quindi alla forma

,

ove le derivate sono ora totali essendosi annullata la dipendenza dal tempo. L'equazione precedente si può scrivere nella forma

, (2)

la quale permette di trarre alcune prime importanti considerazioni. Innanzitutto, si osserva che la portata assume dunque valore costante nello spazio e nel tempo, ed appare quindi la necessità di specificarla a priori, circostanza che ci porta a dedurre che essa debba essere specificata quale condizione al contorno. Si ricorda, infatti, che le condizioni iniziali, per le variabili di una equazione differenziale, sono date dai valori delle variabili stesse all'istante iniziale t = 0, mentre le condizioni al contorno sono date dai valori delle variabili al contorno del volume di controllo, ovvero, nel nostro caso, per le sezioni fluviali trasversali iniziale e finale del tronco d'alveo considerato. In condizioni di moto permanente devono essere specificate solo le condizioni al contorno, fra le quali è compreso quindi il valore della portata fluviale, che rappresenta una condizione al contorno di tipo cinematico. Essendo la portata costante nello spazio, la condizione al contorno porgerà il valore della portata per tutto il tronco fluviale.

La seconda considerazione che si può trarre dall'equazione (2) innanzi presentata è che la corrente accumula (ovvero risparmia) energia quando la pendenza di fondo è superiore alla cadente del carico totale. Ricordando che la condizione di moto uniforme è espressa dalla relazione i = J, come si puo' facilmente dedurre dalle equazioni di cui sopra annullando le derivate spaziali, si può concludere che una corrente accumula energia quanto l'altezza d'acqua è superiore all'altezza di moto uniforme, e dissipa energia nel caso contrario.

Una terza considerazione si deduce osservando che ci siamo ricondotti ad una sola equazione differenziale, la (2) ovvero l'equazione dinamica, che è pure un'equazione di bilancio energetico nell'ipotesi di corrente gradualmente variata nella quale ci stiamo muovendo, che occorrerà quindi integrare per ricavare l'andamento di h, ovvero l'andamento del profilo del pelo libero. L'equazione dinamica presenta due incognite, le stesse del sistema delle equazioni di De Saint Venant, ovvero una geometrica rappresentata dall'altezza idrica h ed una cinematica rappresentata dalla velocità v. Tuttavia, nota la portata, che come abbiamo visto dovremo specificare quale condizione al contorno, la velocità v risulta univocamente legata all'altezza idrica h dalla relazione Q = v(h) * A(h). E' quindi giustificato che il problema si sia ridotto all'integrazione di una sola equazione, l'equazione dinamica, in una sola incognita, ovvero l'altezza idrica h.

3. Integrazione dell'equazione del moto permanente delle correnti a pelo libero

Per meglio comprendere dal punto di vista tecnico il problema del tracciamento dei profili del pelo libero in condizioni di moto permanente, è importante ricordare che un'equazione differenziale descrive gli incrementi delle variabili in gioco, piuttosto che direttamente il valore delle variabili stesse. Una volta noti detti incrementi, sarà necessario sommarli, ovvero integrarli, per ottenere il valore della variabile, in questo caso l'altezza idrica h. Per questo motivo è quindi necessario integrare l'equazione differenziale. E' però necessario specificare il valore di partenza della variabile, ovvero il valore al contorno del volume di controllo al quale sommare tutti i successivi incrementi. Questo valore di partenza è appunto la condizione al contorno, che dovremo esplicitare fornendo un valore appropriato dell'altezza idrica h.

3.1 Definizione della condizione al contorno

Assodato quindi che è necessario speficare una condizione al contorno, ovvero un valore appropriato dell'altezza idrica h, per poter integrare l'equazione del moto permanente che fornisce il profilo del pelo libero, ed assodato anche che questa condizione dovrà essere esplicitata fornendo un valore dell'altezza idrica h per la sezione fluviale di monte oppure la sezione fluviale di valle, si pone ora l'interessante interrogativo se l'altezza idrica al contorno debba essere specificata a monte o a valle. E' stato già ricordato qui che le perturbazioni di livello indotte sulla corrente possono propagarsi verso monte solo in presenza di corrente lenta (o corrente che diviene lenta a causa della perturbazione) mentre si propagano verso valle solo in presenza di corrente veloce. La prima delle due affermazioni precedenti è ovvia, poichè abbiamo ricordato qui che la velocità delle perturbazioni è maggiore della velocità della corrente se questa è lenta, e quindi le perturbazioni possono risalire una corrente lenta. La seconda delle due affermazioni, ovvero che le perturbazioni di livello possono propagarsi verso valle solo in presenza di corrente veloce, è meno ovvia, poichè l'intuizione potrebbe suggerire che le perturbazioni di livello in una corrente lenta, così come possono propagarsi verso monte, possono propagarsi anche a valle. Dimostreremo la seconda affermazione per assurdo.

Ipotizziamo quindi che una corrente lenta, che viaggia in condizioni di moto uniforme, sia disturbata da una perturbazione che abbia provocato un innalzamento del pelo libero verso valle, ove avremmo quindi un'altezza idrica superiore a quella di moto uniforme. Detto innalzamento dovrebbe attenuarsi verso valle, in accordo alla tendenza della corrente a ristabilire condizioni di moto uniforme. Ma a valori di h decrescenti corrispondono, in corrente lenta, valori decrescenti di E (si veda la Figura 1), sicchè si verificherebbe che dE/ds < 0, il che viola la condizione dE/ds = i - J espressa dall'equazione (2), poichè la corrente con altezza superiore a quella di moto uniforme è caratterizzata dalla condizione i > J. Analoghe considerazioni possono essere estese al caso in cui la causa perturbatrice provochi un abbassamento del profilo a valle. Di fatto quindi, la motivazione pratica che giustifica che la corrente lenta è influenzata solo da valle è dettata dall'equazione dinamica, ovvero da considerazioni di bilancio energetico. La corrente lenta non può essere influenzata da monte poichè si originerebbe uno stato energetico incompatibile.

Se ne deduce quindi che la condizione al contorno di tipo geometrico deve essere ricercata a valle se la corrente è lenta, ed a monte se la corrente è veloce.


Figura 1. Andamento dell'energia specifica al variare dell'altezza d'acqua di una corrente gradualmente variata di portata Q.

3.2 Andamento qualitativo dei profili del pelo libero

E' interessante discutere l'andamento qualitativo dei profili del pelo libero così come risultano dall'integrazione dell'equazione (2). A questo fine, ricordiamo che in alveo cilindrico l'energia dipende dall'ascissa fluviale per il tramite della sola altezza idrica h. Si può quindi riscrivere la (2) nella forma

, (3)

dalla quale, sostituendo nella (2), si ricava:

, (4)

Facciamo ora alcune considerazioni sul segno e valore di numeratore e denominatore della (4). Osserviamo innanzitutto in Figura 1 che dE/dh < 0 per le correnti veloci (h < k) mentre dE/dh > 0 per le correnti lente (h > k), ed infine dE/dh = 0 in corrispondenza dello stato critico (h = k). Il numeratore della (4) si annulla invece in condizioni di moto uniforme, per il quale i = J, condizione che fornisce dh/ds = 0. Il numeratore risulta invece positivo, come abbiamo in precedenza notato, per altezze d'acqua superiori a quella di moto uniforme, e negativo nel caso contrario. Si può quindi dedurre che al tendere dell'altezza d'acqua al moto uniforme si ottiene che dh/ds tende a zero, ovvero l'altezza di moto uniforme è raggiunta solo asintoticamente, verso valle o verso monte per corrente, rispettivamente, veloce oppure lenta. Quando invece l'altezza d'acqua tende al valore critico, il denominatore della (4) tende ad annullarsi e quindi dh/ds tende ad infinito. Ovvero, il profilo della corrente tende all'altezza critica con tangente verticale.

Sulla base di queste considerazioni, i profili del pelo libero assumono l'andamento qualitativo mostrato dalle Figure 2 e 3, rispettivamente per l'alveo a debole e forte pendenza. Si ricorda che l'alveo a debole pendenza è quello nel quale, in condizioni di moto uniforme, la corrente è lenta e quindi h0 > k. Viceversa per l'alveo a forte pendenza.


Figura 2. Profili del pelo libero in condizioni di moto permanente per alveo prismatico a debole pendenza


Figura 3. Profili del pelo libero in condizioni di moto permanente per alveo prismatico a forte pendenza

Si noti l'asintoto orizzontale al quale tendono i profili di corrente lenta per altezza tendente all'infinito, che si giustifica considerando che J tende a 0 mentre dE/dh tende ad 1, sicchè dh/ds tende ad i. Le caratteristiche dei profili D3 e F3 in prossimità del fondo alveo possono essere descritte con considerazioni che in questa sede si omettono. Essi tendono a raggiungere il fondo con tangente orizzontale.

Mediante la conoscenza dei profili generici innanzi discussi e rappresentati nelle Figure 2 e 3 è possibile risolvere il tracciamento del profilo di corrente per numerose applicazioni tecniche. La trattazione proseguirà facendo riferimento ad un esempio pratico, che consentirà anche di mettere in evidenza come risolvere situazioni di corrente non gradualmente variata in prossimità di discontinuità nella geometria d'alveo, oppure in presenza di passaggi da corrente veloce a corrente lenta.

3.3 Esempio di applicazione: passaggio di una traversa in alveo a debole pendenza

Facendo riferimento alla Figura 4, immaginiamo che una traversa sia realizzata in alveo a debole pendenza, nel quale transita una corrente caratterizzata da altezza di moto uniforme h0, ad esempio determinata applicando la formula di Chezy, ed altezza critica k, calcolata applicando le formula descritte descritta qui. Assumiamo anche che la traversa sia orizzontale (sprovvista quindi di gaveta) e che abbia altezza tale per cui la corrente non abbia energia sufficiente a passarla. Questa condizione energetica è descritta nel grafico dell'energia presentato in Figura 5, nel quale si nota che abbassandosi di una quantità pari all'altezza della traversa S, rispetto al livello energetico E0 corrispondente all'altezza di moto uniforme, si raggiunge un livello energetico inferiore al minimo, che corrisponde all'altezza critica k.


Figura 4. Passaggio di una corrente su una traversa in alveo prismatico a debole pendenza


Figura 5. Livello energetico della corrente E0 in corrispondenza dell'altezza di moto uniforme h0. Si noti che la corrente non ha energia sufficiente per superare la traversa e deve quindi risparmiare energia rigurgitando a monte.

E' necessario a questo punto premettere una considerazione della massima importanza. Le equazioni di De Saint Venant sono valide sotto l'ipotesi di corrente gradualmente variata, che come sappiamo è caratterizzata da traiettorie sensibilmente rettilinee e parallele. Il profilo del pelo libero si può quindi tracciare integrando l'equazione dinamica solamente lungo un tronco d'alveo percorso da corrente gradualmente variata. Ove si verificasse una perturbazione che induce traiettorie non più sensibilmente rettilinee e parallele, come ad esempio nel caso del passaggio sopra una traversa che stiamo considerando, è necessario interrompere l'integrazione e ripartire con la stessa a monte o a valle della perturbazione stessa, ricercando nuovamente le condizioni al contorno. Il collegamento quindi dei profili di monte e di valle in corrispondenza della discontinuità deve avvenire identificando le condizioni al contorno, che possono essere considerate alla stregua di "punti fissi" del profilo. Si possono individuare applicando la conservazione dell'energia oppure della spinta della corrente, come vedremo in seguito.

La traversa costituisce quindi uno di questi punti di discontinuità ed è quindi necessario specificare le condizioni al contorno per i profili di monte e di valle. La condizione al contorno da ricercare consiste di un'altezza idrica, che dovrà essere ricavata imponendo la conservazione dell'energia a monte ed a valle dell'ostacolo.

Per superare quindi la traversa, la corrente deve necessariamente risparmiare energia e lo fa rigurgitando a monte, ovvero innalzando il proprio livello al di sopra dell'altezza di moto uniforme. In queste condizioni, è noto che la corrente risparmia energia. Il tutto è coerente con la constatazione che la traversa, ovvero la perturbazione, induce un effetto sulla corrente lenta di monte. La corrente risparmia energia fino a raggiungere il valore minimo necessario per superare la traversa, che corrisponde al passaggio sopra la traversa in condizioni critiche. A tale livello energetico superiore, corrisponde a monte un'altezza hm, come abbiamo detto superiore all'altezza di moto uniforme h0, mentre la corrente a valle non può che essere veloce. Lo è poiche' la corrente di valle è influenzata da una causa perturbatrice posta a monte e ciò può accadere solo se la corrente è veloce. L'altezza di corrente veloce di valle, hv, si può stimare sul grafico riportato in Figura 6, in corrispondenza del livello energetico aumentato E1. Si noti che per effetto della chiamata allo sbocco la corrente esce dalla traversa con altezza inferiore a quella critica. Esperienze hanno mostrato che la contrazione della vena è pari a circa il 30%. Come si può notare, per trovare l'altezza d'acqua a monte ed a valle della traversa, che altro non è che la condizione al contorno per l'integrazione dei profili corrispondenti, abbiamo imposto la conservazione dell'energia.

A monte della traversa, la corrente si raccorda all'altezza di moto uniforme con un profilo di tipo D1, mentre a valle della traversa la corrente veloce procede lungo un profilo di tipo D3 che tende a raggiungere l'altezza critica con tangente verticale. Tuttavia non siamo ancora certi che detto profilo di corrente lenta si verifichi, poiche' come sappiamo a valle insiste un profilo di corrente lenta che tende a risalire. Da una parte abbiamo quindi una corrente veloce che scende lungo l'alveo e dall'altra abbiamo una corrente lenta che risale. Ove le due correnti si incontrano, ma ancora non sappiamo dove, si verificherà un passaggio da corrente veloce di monte a corrente lenta di valle, e sappiamo che questo può avvenire solo attraverso un salto di Bidone, così chiamato in onore all'idraulico italiano Giorgio Bidone, che fu tra i primi a studiarlo. Il salto di Bidone è caratterizzato da una zona di turbolenza ove avviene una forte dissipazione energetica localizzata. E' particolarmente temuto per i fenomeni di erosione di fondo che può indurre.

Per localizzare il punto d'incontro fra la corrente veloce e quella lenta, e quindi per localizzare il salto di Bidone, è necessario imporre la conservazione della spinta della corrente, che abbiamo già richiamato qui. La spinta S esercitata da una corrente in movimento è data dalla somma della spinta idrostatica e della spinta idrodinamica. Per una sezione trasversale di forma qualunque si può scrivere

S = γ A hg + ρ Q v ,

dove hg è l'altezza del baricentro della sezione trasversale rispetto al fondo alveo. Per una sezione rettangolare si può scrivere

s = 1/2 γ h2 + ρ q v ,

ove s e q sono la spinta e la portata per unità di larghezza (portata specifica).

La spinta della corrente assume valore minimo in corrispondenza dell'altezza critica. La corrente veloce di valle, quindi, ha spinta assegnata e corrispondente all'altezza hv a valle della traversa, spinta che cala mano a mano che il profilo risale avvicinandosi all'altezza critica. Se la corrente lenta ha spinta superiore a quella corrispondente ad hv il risalto avrà luogo subito a valle della traversa. Altrimenti, la corrente veloce, avendo spinta maggiore rispetto alla corrente lenta, "spinge" quest'ultima verso valle. Il risalto si verificherà quando la corrente veloce, per effetto del decremento della sua spinta, non riuscirà più a spingere a valle la corrente lenta.


Figura 6. Livelli energetici della corrente al passaggio della traversa e corrispondenti altezze idriche.

3.4 Esempio di applicazione: profilo di corrente fra due briglie in alveo prismatico a forte pendenza

Consideriamo ora il caso di una corrente a pelo libero nel tronco d'alveo prismatico compreso fra due briglie di contenimento, facendo riferimento allo schema presentato in Figura 7. Le briglie di contenimento, come vedremo, sono realizzate per diminuire la pendenza di alvei a forte pendenza, onde limitare fenomeni di erosione di alveo e sponde. Dopo la loro realizzazione, si instaura un regime transitorio nella situazione "prima dell'interrimento", durante il quale nel tratto d'alveo a monte delle briglie si verifica deposizione di materiale solido fino a raggiungere il riempimento della piazza di deposito a monte dell'opera, inducendo così la presenza di un alveo a debole pendenza. La Figura 7 fa riferimento alla situazione transitoria precedente all'interrimento. La situazione successiva all'interrimento verrà discussa in seguito.

Essendo l'alveo a forte pendenza, l'altezza di moto uniforme h0 sarà minore dell'altezza critica k. Ipotizziamo che la briglia abbia soglia orizzontale (sprovvista quindi di gaveta) e che abbia altezza tale per cui la corrente non abbia energia sufficiente a passarla, come abbiamo ipotizzato per trattare il caso della traversa in precedenza discusso. Come vedremo questa condizione è necessaria per indurre la deposizione di materiale a monte della briglia.


Figura 7. Passaggio di una corrente fra due briglie in alveo prismatico a forte pendenza, prima dell'interrimento.

Per superare quindi la briglia, la corrente deve necessariamente risparmiare energia mediante rigurgito a monte. Affinchè ciò avvenga, è necessario che la corrente a monte della briglia sia lenta. Quindi, nel tratto d'alveo precedente la briglia si verificherà un risalto idraulico, che dovrà essere localizzato imponendo l'uguaglianza delle spinte esercitate, rispettivamente, dalla corrente veloce in moto uniforme e dalla corrente lenta rigugitata.

Anche in questo caso, la corrente risparmia dunque energia fino a raggiungere il valore minimo necessario per superare la briglia, che corrisponde al passaggio sopra la briglia in condizioni critiche. A tale livello energetico, corrisponde a monte un'altezza hm di corrente lenta, mentre la corrente a valle non può che essere veloce, essendo influenzata da un ostacolo posto a monte. Le altezze di monte e valle, hm e hv, si possono ancora stimare sul grafico riportato in Figura 6, in corrispondenza del livello energetico aumentato E1. Anche in questo caso, per effetto della chiamata allo sbocco la corrente esce dalla briglia con altezza pari a 0.7 k.

A monte della briglia, la corrente si raccorda a monte con un profilo di tipo F1, con spinta decrescente fino a raggiungere la spinta corrispondente alla corrente veloce in moto uniforme. A valle della briglia, invece, la corrente veloce procede lungo un profilo di tipo F3 che tende a raggiungere l'altezza di moto uniforme asintoticamente. Se lo spazio fra le due briglie è sufficientemente lungo (dell'ordine di grandezza delle centinaia di metri) la corrente si avvicinerà alle condizioni di moto uniforme. Se lo spazio non è sufficiente, la corrente veloce verrà rigurgitata dalla corrente lenta prima di raggiungere la condizione di moto uniforme. La posizione del risalto dovrà essere verificata imponendo l'uguaglianza delle spinte.

Dopo l'interrimento (Figura 8), si verifica una situazione analoga, ma in alveo a debole pendenza. Occorre quindi rifarsi ai profili di tipo D, anzichè ai profili di tipo F che si erano verificati nel caso precedente.


Figura 8. Passaggio di una corrente fra due briglie in alveo prismatico a forte pendenza, dopo l'interrimento.

In soluzione analoga si possono risolvere altri problemi tecnici. I passaggi chiave della procedura sono l'individuazione dei punti di discontinuità e la ricerca delle condizioni al contorno, che possono essere imposte imponendo la conservazione dell'energia o l'uguaglianza della spinta idraulica.

Lezione successiva

Ultima modifica: 20 novembre 2018